sábado, 30 de junio de 2007

PITAGORAS. Matemática y Música


Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 adC - 507 adC, en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no solo al mismo Pitágoras. Quien demostró dicho teorema fue uno de sus discípulos, Hipaso de Metaponto.

Pitágoras, nació en la isla de Samos. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Militene a estudiar con Ferécides de Syros y tal vez con su padre, Babydos de Syros). Tras regresar a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona (o Crotón), en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto hacia impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron a Tarento donde se fundó su tercera escuela.

Su escuela de pensamiento afirmaba que la estructura del universo era aritmética y geométrica, a partir de lo cual las matemáticas se convirtieron en una disciplina fundamental para toda investigación científica.

Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa que Pitágoras tenía en su muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que él tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendiendo a tocar la lira, poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron de haber influenciado a Pitágoras en su juventud.

Pitágoras pasa por ser el introductor de pesos y medidas, elaborador de la teoría musical; primero en hablar de "teoría" y de "filósofos", en postular el vacío, en canalizar el fervor religioso en fervor intelectual, en usar la definición y en considerar que el universo era una obra sólo descifrable a través de las matemáticas. Fueron los pitagóricos los primeros en sostener la forma esférica de la tierra y postular que esta, junto con el sol y el resto de los planetas conocidos, no se encontraban en el centro del universo, sino que giraban entorno de una fuerza simbolizada por el número uno. Con el pitagorismo nos trasladamos del oriente griego al occidente (Magna Grecia).

Pitágoras, nacido en Samos, Jonia, tuvo que emigrar de su tierra por persecución política y fue a establecerse en Crotona, en el sur de Italia. A Pitágoras se le atribuye la invención de la tabla de multiplicar y del teorema que lleva su nombre. Formó una especie de secta o cofradía, con rituales y un conjunto de doctrinas esotéricas (secretas), en la que se guardaba devoción por Pitágoras, al que sus discípulos atribuían las doctrinas (también doctrinas surgidas en la escuela ya muerto el maestro) con la fórmula ritual "Él dijo". Había dos clases de discípulos, unos internos y otros externos. Ante éstos, el filósofo ocultaba su figura, dando sus lecciones tras una cortina. La escuela asimiló la atmósfera, cargada de religiosidad, de Magna Grecia. Así, son de procedencia órfica (el orfismo era la religión iniciática más extendida en el sur de Italia) las prácticas ascéticas purificadoras (la abstención de comer carne, la prohibición de vestir lana, de matar animales, etc.), la creencia en la preexistencia, inmortalidad y transmigración de las almas.

El alma procede de otro mundo, se ha manchado con el pecado y ha de llevar, encadenada al cuerpo, una vida de expiación y de peregrinación. En esta escuela se encuentra esta idea, que se verá luego en Platón, del cuerpo como cárcel del alma (que se expresaba con la fórmula "soma=sema").La vida tiene que ser una "catarsis" (purificación). El alma es lo esencial del hombre, y no una sombra o imagen del cuerpo, como aparece en Homero. La catarsis del alma, además del ayuno, incluía el silencio, el examen de conciencia y la dedicación al trabajo intelectual, especialmente las matemáticas, en las que se aprende la armonía, que ha de ser llevada mediante el estudio al interior del hombre. Esto es original del pitagorismo, pues hasta entonces la pureza se había buscado únicamente por medio del ritual y de las prohibiciones mecánicas. Lo más importante del pitagorismo es su "filosofía del número". Los pitagóricos fueron ante todo matemáticos y esto determina su explicación de la naturaleza. El arjé es para ellos el número. ¿En qué lo basaban? Observaron que ciertas propiedades de los seres pueden ser expresadas matemáticamente. Aparte de algunos teoremas de geometría, el descubrimiento más importante lo realizó Pitágoras en el campo de la música.

En la música es esencial la determinación numérica: los intervalos entre las notas de la lira pueden formularse numéricamente, la altura del sonido depende de la longitud de la cuerda y es posible representar la escala con razones numéricas. Y la música es un modelo del funcionamiento del universo, ya que tanto el universo como la música son armonía, es decir, orden y belleza, e igual que la armonía musical depende del número, se puede pensar que ocurre así en el universo (es el tema de la música celestial, de la música de las esferas). Pues bien, los pitagóricos creyeron que todos los seres son formulables matemáticamente y supusieron que los principios de las matemáticas son también los principios de la naturaleza.

A partir de esta última tesis (los números son el arjé), los pitagóricos se aplicaron a estas dos tareas: a) a asignar, por procedimientos en gran medida arbitrarios, un número a cada género de cosas; por ejemplo, el 5 al matrimonio, pues es la suma del primer par, el 2, elemento femenino, y el primer impar, el 3 (el 1 no es par ni impar), elemento masculino. Asimismo trasponían la aritmética a la geometría, considerando los números como determinación del espacio: el 1 engendra el punto, el 2 produce la línea, el 3, la superficie, el 4, el volumen. Sumando estos cuatro primeros números se obtiene el 10, el número o figura sagrada "tetraktis":

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Y b) Se dedicaron también a buscar los principios de los números. Los números proceden de dos principios: lo par y lo impar. (Las anteriores respuestas al problema del arjé son monistas; la pitagórica es dualista). A partir de estos dos principios se establece una tabla de categorías a base de oposiciones entre dos términos:

IMPAR PAR
LIMITADO ILIMITADO
UNO MÚLTIPLE
DERECHO IZQUIERDO
MASCULINO FEMENINO
REPOSO MOVIMIENTO
RECTO CURVO
LUZ OSCURIDAD
BUENO MALO
CUADRADO OBLONGO

En resumen, para comprender esta filosofía del número hay que tener en cuenta que los pitagóricos dan la mayor importancia al orden, proporción y medida (acentuando un rasgo presente en otras expresiones del pueblo griego: la mesura), es decir, a la forma que trata la matemática. Cada ser particular es lo que es no gracias a sus elementos materiales, que son los mismos en todos,sino por las relaciones formales internas y externas. Lo preciso para dar razón de una cosa es la razón matemática de su estructura. En este sentido, las cosas son números. Observemos que, según hemos visto, para los jónicos algo que hoy pensamos como material (agua, aire, etc.) representaba no sólo la materia universal sino también la forma del cosmos.

Para los pitagóricos, por el contrario, algo que pensamos como puramente formal, el número, representa no sólo la forma, sino también la materia de las cosas (las cosas son números). En uno y otro caso es indispensable tener presente que durante este primer momento el pensamiento filosófico no puede separar aún, con plena claridad conceptual, materia y forma. El mundo -los pitagóricos fueron los primeros en denominarlo "cosmos"- se formó cuando el Uno o la unidad originaria integró, por una especie de aspiración, el vacío que lo rodeaba. Antes de despedir este punto, hay que reseñar la importancia del pitagorismo para el nacimiento de la ciencia moderna (siglo XVII). Cierto pitagorismo, llegado de la mano del platonismo durante el Renacimiento italiano, le hará decir a Galileo que "la naturaleza es inteligible porque está escrita en caracteres matemáticos" .

6 comentarios:

subcomandante calvo dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
subcomandante calvo dijo...

arrancando el video de Donald, se puede ver otro muy interesante sobre la proporción áurea, que relaciona dos segmentos y con la que se construye el rectángulo áureo

es la siguiente:

si los lados del rectángulo son a>b la proporción de sus longitudes debe de cumplir con la ratio:

a/b=(V5+1)/2= 1,618...
(V es raiz cuadrada de ...)

esta formulación es deducible de la siguiente operación geométrica

tomamos un cuadrado de lado b, unimos el punto medio de su base con uno de los vertices superiores

luego abatimos el segmento trazado con centro en el mismo punto medio, sobre la base horizontal del cuadrado, obteniendo un punto de intersección con esta base

la distancia entre este punto encontrado y el extremo opuesto de la base del cuadrado será el segmento a

los dos segmentos obtenidos a>b cumplen con la razón a/b= 1,618 ...

la demostración es sencilla pues, el segmento que se abate por el teorema de Pitágoras es V(bcuadrado + (b/2)cuadrado)

osea, que el segmento abatido es V5 x b/2

y si a esto sumamos el segmento opuesto que mide b/2 tendremos la longitud de a

que resulta ser lo expuesto arriba

a= (1+V5)b/2= 1,618 b ...

habiendo calculado, de esta forma, el conocido NÚMERO ÁUREO o NÚMERO DE ORO

PARA MÁS INFORMACIÓN
El Número de Oro de Matila C.Ghyka
editorial Poseidon ISBN: 84-85083-11-3

leyendo este texto se descubren y aclaran muchas de estas cuestiones pitagóricas

buen viaje ... 1, 2, 3, 4, 5, ...

cabo de varas dijo...

La dualidad onda corpúsculo, también llamada onda partícula, resolvió una aparente paradoja, demostrando que la luz y la materia pueden, a la vez, poseer propiedades de partícula y propiedades ondulatorias.

De acuerdo con la física clásica existen diferencias entre onda y partícula. Una partícula ocupa un lugar en el espacio y tiene masa mientras que una onda se extiende en el espacio caracterizándose por tener una velocidad definida y masa nula.

Actualmente se considera que la dualidad onda - partícula es un “concepto de la mecánica cuántica según el cual no hay diferencias fundamentales entre partículas y ondas: las partículas pueden comportarse como ondas y viceversa.” (Stephen Hawking, 2001)

Éste es un hecho comprobado experimentalmente en múltiples ocasiones. Fue introducido por Louis-Victor de Broglie, físico francés de principios del siglo XX. En 1924 en su tesis doctoral propuso la existencia de ondas de materia, es decir que toda materia tenía una onda asociada a ella. Esta idea revolucionaria, fundada en la analogía con que la radiación tenía una partícula asociada, propiedad ya demostrada entonces, no despertó gran interés, pese a lo acertado de sus planteamientos, ya que no tenía evidencias de producirse. Sin embargo Einstein reconoció su importancia y cinco años después, en 1929, recibió el Nobel en física por su trabajo.

Su trabajo decía que la longitud de onda, λ, de la onda asociada a la materia era



donde h es la constante de Planck y p es la cantidad de movimiento de la partícula de materia.

Anónimo dijo...

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